74. ናፍቅሮ ፡ ለእግዚአብሔር ፡ እግዚአብሔርን ፡ እንዉ ደደው፡ Im letzten Worte l. ው statt ዉ 715 ንጸውዖ፡ለእግዚአብሔር፡እግዚአብሔርን፡እንጽራዉ፡ 716. ንፈርሆ ፡ ለእግዚአብሔር ፡ እግዚአብሔርን ፡ እንፈረ ዋለን ፡ 717. ውስተ ፡ ቤቱ ፡ ለእግዚአብሔር ፡ ኃደርነ ፡ በእግዚአብ ሔር ፡ በቤቱ ፡ አደርን ፡ 718 በታሕቴሁ ፡ ለእግዚአብሔር፡ ሀሎነ፡ በእግዚአብሔር፡ በታቹ ፡ አለነ ፡ በን ፡ ማን ፡ አመጻልህ ፡ በ ፡ ተደርጎለት ፡ በሆኖ ፡ ይፈታል ። 719 ውስተ ፡ ጸጋሁ ፡ ለእግዚአብሔር ፡ ጸጋ ፡ ረከብነ ፡ በእግ ዚአብሔር ፡ በባለጸግነቱ ፡ ባለጸግነትን ፡ አገኘን ፡ 72. ውስተ ፡ ሕይወቱ ፡ ለእግ ፡ ሕይወተ ፡ ነሣእነ ፡ በእግዚ፡ በደኅንነቱ፡ደኅንነትን ፡ አገኘን ፡ 721 እምቤቱ ፡ ለእግዚአብሔር ፡ ኢወጻእነ ፡ ከእግዚአብሔ ር ፡ ከቤቱ ፡ አልወጻነም፡ 722. እምእዴሁ ፡ ለእግዚ ፡ ኢያምሰጥነ ፡ ከእዚ ፡ ከጁ ፡ አላ መለጥነም ፡ ከን ፡ ማን ፡ አመጻልህ፡ለ፡እም፡ተደርጎለት ፡ ከሆኖ ፡ 723 እምደቂቁ ፡ ለእግዚአብሔር ፡ ኢተፈለጥና ፡ ከእግዚአ ብሔር ፡ ከ ልጃቹ ፡ አልተለየንም ፡ Statt ጃ ist im fünften Worte ጆ zu lesen. 724 እም፡ፍኖቱ፡ለእግዚአብሔር ፡ ኢተግህስነ ፡ ከእግዚአ ብሔር ፡ ከማንገዱ ፡ አላገለልንም ፡ Statt ist im sechsten Worte ØD zu lesen. 7 25 ለእግ ፡ ንትቀነይ ፡ ለእግ ፡ እንገዛ ፡ 7 26 ለእግ ፡ ና ቅርብ ፡ አምኃ ፡ Hier folgt ein leeres Blatt. 727. ሰዋስውየ ፡ መሸጋገርያ ፡ መሳላሌ፡ 1) Kopie ሰ. 2) Kopie n. 3) Kopie ስ 7 29. ዲቤየ ፡ ላዕሌየ ፡ 73. መልዕልቴየ ፡ ባላየ ፡ 731 ከማየ ፡ እንደኔ ። 732. ኃቤየ ፡ መንገሌየ ፡ ወደኔ ፡ ከኔ ፡ ዘንድ፡ Statt ባራ ist ጋራ zu lesen. 734 ብሂልየ ፡ ገህልየ ፡ ብሄሎትየ ፡ ማለቴ ፡ Im zweiten Worte l. ብ statt ገ, im dritten ሂ statt Z 735 ሄፍየ ፡ ጽህፎትየ ፡ ወጸአፍ ። Das erste Wort ist zu lesen; das letzte viel leicht መጻፌ 736. ሊተ ፡ ለኔ ፡ እኔ ። 737 ብየ ፡ በኔ ፡ አለኝ ፡ አለኝ ፡ አለብኝ ። 738 አነ ፡ ለልየ ፡ እኔ ፡ 739 ዚአየ ፡ እንቲአየ ፡ የኔ ፡ 74. ኤያየ ፡ እኔ ፡ ን ፡፡ Statt ኤያየ ist ኪያየ zu lesen. ። Seit W. K. LAFTUS im Jahre 1854 zwei mit Zahlen bedeckte Täfelchen dem Schosse der Erde entriss, welche dann von RAWLINSON gedeutet wurden, haben diese Tafeln - von den Geschichtschreibern der Mathematik kurzweg als die Tafeln von Senkereh bezeichnet - das regste Interesse zu erwecken gewusst. Waren sie doch unabweisbare Zeugnisse dafür, dass die Babylonier sich in sehr alter Zeit schon des Stellungswertes der Zahlzeichen bedienten, wenn auch die auf den Tafeln vorkommenden Zahlen die Frage noch nicht entscheiden liessen, ob ein lückenausfüllendes Zeichen, anders gesagt: eine Null, dem Verfasser der Tafeln bekannt war. Die von H. V. HILPRECHT in Nippur vorgenommenen Ausgrabungen haben ähnliche Tafeln an's Licht gebracht, haben auch zahlreiche andere Rechnungen alten Ursprungs entdecken lassen; nirgend aber war eine Null vorhanden. Eine solche ist mit Sicherheit erst aus den drei letzten vorchristlichen Jahrhunderten bekannt, wo sie in astronomischen Texten') vorkommt, eine verhältnismässig späte Zeit gegenüber von dem Alter der Tafeln von Senkereh und von Nippur, aber immerhin 8 Jahrhunderte früher als der indische Mathematiker Aryabhatta (geboren 476 n. Chr.), 1) FR. X. KUGLER, Die Babylonische Mondrechnung, Keilinschriftliche Beilagen Tafel IV und öfter. bei welchem zuerst eine indische Benutzung der Null nachweisbar ist. Die Tafeln von Senkereh und die ihnen inhaltsähnlichen von Nippur haben aber, abgesehen von dem Nachweise des Stellungswertes der Zahlzeichen zunächst noch ohne Null in altbabylonischer Zeit, auch durch die Rechnungen, welche sie enthalten, eine nicht hoch genug zu schätzende Bedeutung für die Geschichte der Mathematik. RAWLINSON hat die Tafeln als solche von Quadratzahlen und Kubikzahlen aufgefasst, und diese Auffassung wurde allgemein als richtig anerkannt. Erst in der 3. Auflage des I. Bandes meiner Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (Leipzig 1907 bei B. G. TEUBNER) habe ich eine davon abweichende Meinung ausgesprochen, welche ich hier, als an einer den Keilschriftforschern leichter als in meinem umfangreichen Bande zugänglichen Stelle, wiederholen möchte, um deren Aufmerksamkeit darauf zu lenken. In RAWLINSON's Darstellung erscheinen auf den Tafeln zwei Reihen von Gleichungen, nämlich u. s. W. Dass er damit die quadratischen und kubischen Beziehungen zwischen den Zahlen 1, 2, 3 . . und 1, 4, 9... sowie 1, 8, 27 . . . richtig erkannt hat, ist unzweifelhaft. Zweifelhaft, um nicht zu sagen irrig, scheint mir dagegen die Uebersetzung. Ich gehe dabei von folgender Ueberlegung aus. Die hier wiederholt genannten Tafeln von Senkereh und die ihnen ähnlichen von Nippur sind augenscheinlich Hilfstafeln, deren man sich bei gewissen Ge legenheiten zu bedienen hatte und zu bedienen wusste, und keinen anderen Zweck können die gleichfalls aus Nippur und anderwärts her bekannten Multiplikationstafeln gehabt haben. Es waren, um eine moderne Benennung zu gebrauchen, Rechenknechte. Der Gelehrte, d. h. der vor etwa 4000 oder noch mehr Jahren in Babylon Anspruch auf diesen Namen erheben durfte, stellte sie her, der Laie wandte sie an. Zu welchem Zwecke konnten Tafeln der Quadratzahlen und der Kubikzahlen dienen? Konnte man, um bei den Ibdi-Tafeln wie ich sie nennen will, weil damit keiner Erklärung vorgegriffen ist stehen zu bleiben, ihrer bei der Ausmessung von Feldern bedürfen? Diese Frage aufwerfen heisst sofort sie verneinen. Nicht der menschliche Wille allein gibt den Grundstücken ihre Umgrenzung, die Bodenbeschaffenheit tut dazu das Meiste. Haben wir doch Belege für diese an sich schon einleuchtende Behauptung. Ich erinnere an den von SCHEIL veröffentlichten Felderplan. Kein einziges quadratisches Feld kommt auf demselben vor. Dreieckige Parzellen wechseln mit mehr oder weniger unregelmässigen viereckigen Feldstücken, und wenn auch über deren Flächenberechnung nicht volle Uebereinstimmung zwischen den Forschern herrscht, welche sie zu enträtseln suchten, so ist so viel sicher: gewisse Zahlen, welche gewissen Abmessungen entsprechen, wurden dabei miteinander bald additiv bald multiplikativ verbunden. Mit anderen Worten: zur Feststellung des Flächenmasses konnte man zweckmässig von Multiplikationstafeln Gebrauch machen, aber nicht von Ibdi-Tafeln. Wozu konnten diese Verwendung finden? Auf die wiederholte Frage weiss ich nur eine Antwort: die Ibdi-Tafel diente zur Ausziehung von Quadratwurzeln. War durch eine Felderrechnung das Mass eines Grundstückes als 3249, das eines anderen als 3364 erkannt, so entnahm man der Ibdi-Tafel, dass das erste einem Quadrate |