nicht selten behauptet, daß man das Formschöne einfach als mathematische Funktion behandeln, daß man es in mathematischen Formeln entwickeln könne. Das ist ein Irrtum. Trotz eines gewissen Parallelismus sind doch beide Gebiete durch eine unausfüllbare Kluft getrennt. Das ästhetische Urteil ist in der Beurteilung so verwickelter Kurven, daß ihre Ableitung aus einer Formel zur Zeit noch ganz unmöglich ist, ebenso sicher wie in der Beurteilung von Kreis, Ellipse oder anderen leicht berechenbaren Linien.

2. Flächenschönheit.

Die regelmäßigen ebenen Figuren mit geradliniger Begrenzung können den Gesehen der Schönheit unmöglich widerstreiten. Sie erfüllen die Forderung der Einheit durch die Gesetzmäßigkeit ihrer Konstruktion, die Forderung der Mannig faltigkeit durch die Zahl ihrer Seiten und Winkel. Zur Abgrenzung einer Ebene sind mindestens drei gerade Linien nötig. Ein ebenes, geradliniges Zweieck giebt es nicht, weil zur Bestimmung einer Ebene drei Punkte nötig sind. Es muß aber allen regelmäßigen ebenen Figuren von geradliniger Begrenzung eine gewisse Schönheit zugeschrieben werden. Indessen waltet hier ein bedeutender und auffallender Unterschied ob, welcher sofort zeigt, daß es bei dem ästhetischen Urteil gar nicht auf die mathematische Formel ankommt. Das gleichseitige Dreied nämlich ist schöner als das Quadrat. In der Organismenwelt kommt das Quadrat fast niemals zur Anwendung, das gleichseitige Dreieck dagegen sehr häufig, so z. B. bei den Formen der Blattflächen. Das läßt sich nicht mathematisch, sondern nur ästhetisch erklären. Ich glaube, die Erklärung liegt in folgendem. Das Quadrat ist sehr leicht auszumessen, denn auch der mathematisch Unwissende sieht ein, daß die Ausmessung mittels kleinerer Quadrate gelingen müsse. Die Gestalt des Quadrats hat daher etwas Philisterhaftes, Triviales. Fragt man aber einen mathematisch Unwissenden, wie man die Größe eines gleichseitigen Dreiecks bestimme, so wird ihm die Antwort weniger rasch bei der Hand sein. Diese Eigentümlichkeit hängt noch mit einer anderen zusammen, welche vielleicht von noch größerer Wichtigkeit ist. Ich meine die Anzahl der Seiten und Winkel. Macht man auf einem Blatt Papier Punkte in Konstellationen zu dreien, vieren u. s. w. bis zu so großen Zahlen, daß man dieselben nicht mehr auf einen Blick übersehen kann, ohne ein Zacharias Dase zu sein, so wird man zu seiner Ueberraschung gewahren, daß diejenigen Konstellationen die schönsten sind, welche von 3, 5, 7, 11, 13 Punkten gebildet werden, mit einem Wort von Primzahlen. Der Grund ist derselbe wie beim Quadrat: Bei 4, 6, 8, 9, 10, 12 Punkten gewahren wir zu leicht die Teilbarkeit durch 2 oder 3 und das macht den Eindruck des Trivialen. Daher ist ein regelmäßiges Dreieck schöner als ein Quadrat, ein regelmäßiges Fünfeck schöner als ein regelmäßiges Sechseck. Bei Beurteilung der schönen Form kommt aber eine obere Grenze der Seitenzahlen in Betracht. Es wird nämlich ein regelmäßiges Vieleck schöner erscheinen, wenn wir die Zahl seiner Seiten noch auf einen Blick übersehen können. Bei sehr hohen Seitenzahlen kann die absolute Anzahl überhaupt keine große Bedeutung mehr für uns haben und die Figur nähert sich dem Kreise zuleht zu sehr, um noch als Vieled einen Vorzug vor ihm zu haben. Schon aus diesem Grunde wird z. B. in der Baukunft über das Oktogon selten hinausgegangen. Daß man in der Architektur das Fünfed seltener als das Sechseck oder Achteck anwendet, hat lediglich prak= tische Gründe.

Nun tritt uns noch der scheinbar seltsame Unterschied entgegen, daß man beim Dreieck und Viereck von der Gleichheit der Seiten und Winkel absehen kann, ohne daß das Gebilde darum notwendig häßlich erscheinen müßte. Ein gleich

schenkeliges Dreieck macht noch einen angenehmen Eindruck, ebenso die Raute, das Parallelogramm und das Rhomboid, ja sogar, wenn auch in weit geringerem Grade, das Trapez und unter Umständen das rechtwinkelige ungleichseitige Dreieck. Durchaus unschön dagegen erscheint uns ein ungleichseitiges Fünfeck, Sechseck u. s. w. In dem gleichschenkeligen Dreieck gewahren wir auf den ersten Blick die Gesezmäßigkeit der Bildung an der Gleichheit der Grundwinkel, im Parallelogramm die Gleichheit der Winkel und den paarweisen Parallelismus der Seiten, in der Raute die paarweise Gleichheit von Seiten und Winkeln, ebenso im Rhomboid, endlich sogar im Trapez den Parallelismus zweier Seiten und im rechtwinkeligen

ungleichseitigen Dreieck die lotrechte Lage zweier Seiten zu einander. Uebrigens ist der Unterschied auch gar nicht so groß, wie er auf den ersten Blick scheint. Das gleichschenkelige Dreieck, das Parallelogramm, die Raute und das Rhomboid sind zwar keine regelmäßigen geometrischen Figuren, doch sind sie symmetrisch gebildet. Verändert man aber ein regelmäßiges Vielec nach irgend einer symmetri= schen Regel, so erscheint dasselbe nicht minder schön wie jene Figuren der Geometrie1).

Symmetrisch nennen wir jede ebene Figur, welche sich durch eine gerade Linie mindestens in einer Richtung in zwei ähnliche Hälften zerlegen läßt. Wollen wir diese Erklärung auf gekrümmte Figuren und auf körperliche Gebilde ausdehnen, so müssen wir sagen: Symmetrisch ist jedes Raumgebilde, welches sich durch eine gerade Linie (oder durch eine Kurve) oder durch eine Ebene mindestens in einer Richtung oder Lage in zwei ähnliche Hälften zerlegen läßt.

1) Philosophie des Schönen von Eduard v. Hartmann. Zweiter Teil. Berlin 1887 (C. Dunckers Verlag). S. 97.

Dabei tritt nun ein besonderer Unterschied hervor. Kann man die eine der beiden Hälften in Gedanken in die Lage der anderen versehen, so sind die Hälften symmetrisch gleich. Ist das aber unmöglich, so sind sie symmetrisch ähnlich. In diesem Falle folgen zwar die Teile genau in derselben Reihenfolge aufeinander, aber in jeder der beiden Hälften in entgegengesetter Richtung, so daß sie sich verhalten wie ein Gesicht zu seinem Spiegelbild. Im ersten Fall kann man die symmetrische Figur oder den symmetrischen Körper mehr als einmal in zwei gleiche Hälften zerlegen. Wir nennen das einfache Symmetrie oder Symmetrie ersten Grades. In der Organismenlehre nennt man es auch wohl radiäre oder aktinomorphe Symmetrie.

Im zweiten Falle kann das Raumgebilde nur ein einziges Mal durch eine gerade Linie (Kurve) oder ebene Fläche in zwei symmetrisch ähnliche Hälften zerlegt werden. Man spricht dann von Symmetrie zweiten Grades oder verwickelter Symmetrie. In der Organismenlehre nennt man es auch Zygomorphie oder bilaterale Symmetrie, auch dorsiventrale Symmetrie. Besser wäre wohl der Ausdruck: polare Symmetrie.

Da die Naturgebilde physische Körper sind, so kann in aller Strenge von Flächenbildung bei ihnen nur als Begrenzung, also als Oberflächenbildung die Rede sein. Bei den Organismen überwiegt freilich zuweilen Wachstum und Zellteilung nach zwei aufeinander senkrechten Richtungen, also im Sinne einer Ebene, bei den einfachsten Organismengruppen nicht selten bei der ganzen Organisation, bei den höheren Organismen bei einzelnen Gliedern, wie z. B. bei den Blättern und bei manchen Haargebilden der Pflanzen, bei den Schuppen der Schmetterlinge u. s. w. Auch eine einzige Dimension herrscht bisweilen durchaus vor, wie bei den Fadenalgen, bei Haargebilden von Pflanzen und Tieren. Wir werden aber aus dem oben angeführten Grunde die ästhetische Betrachtung linienförmiger und flächenförmiger Gebilde mit derjenigen der physischen Körper vereinigen.

3. Körperschönheit.

Regelmäßige Körper mit ebenen Grenzflächen giebt es nur fünf und kann es nur fünf geben nach den Eigenschaften des Raumes. Unter den krummflächigen Körpern schließt sich jenen die Kugel an, der regelmäßigste aller dentbaren Körper überhaupt. Unter den Vielflächnern entspricht dem Dreieck das Tetraeder, dem Viereck das Heraeder, dem Fünfeck das Dodekaeder, und zwar nicht nur in geometrischer, sondern auch in ästhetischer Beziehung. Denn wie unter den ebenen Figuren das Quadrat, so ist unter den Vielflächnern der Kubus der wahre Philister. Kubische Gestalten wird der Künstler möglichst vermeiden. Selbst bei Monumentalbauten, so z. B. beim Fußgestell eines Denkmals, wird man statt des Kubus lieber ein Parallelepiped anwenden, eine kurze, plattenförmige Säule mit quadratischer Grundfläche. Ein kubisches Gebäude sieht immer sehr philiströs und unbeholfen aus. Kann der Architekt den Kubus nicht vermeiden, so wird er wenigstens durch zweckentsprechende Gliederung der Fassade den Beobachter zu täuschen suchen. Das Tetraeder und das Dodekaeder sind weit schöner als der Würfel, ebenso das Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Höchst merkwürdig ist die Thatsache, daß unter den Sphäroiden die Kugel ästhetisch angenehmer wirkt als das Ellipsoid. Es scheint das ganz rätselhaft und unerklärlich, da doch das Ellipsoid dem Gebot der Mannigfaltigkeit mehr entspricht als die Kugel. Die Schönheit der Kugelgestalt beruht wohl in erster Linie darauf, daß sie uns die drei Dimensionen des Raumes verhüllt, weil sie keine Achsen besiht, oder vielmehr, weil die Zahl ihrer Achsen unendlich ist. Recht plump und ungeschickt zeigt uns der Würfel die drei aufeinander senkrechten, den drei

Dimensionen des Raumes entsprechenden Achsen, und mehr oder weniger deutlich lassen alle regelmäßigen Vielflächner die Achsen erkennen, am wenigsten das Tetraeder. Ebenso verrät auch das Ellipsoid die Achse, nämlich die große Achse der Ellipse, und das mag wohl der Grund sein, weshalb jenes weniger schön erscheint als die Kugel. Die Massen der Materie streben infolge der Gravitation nach Vereinigung und Abrundung zur Kugel und diese ist weit in der Natur verbreitet, natürlich niemals als mathematisch vollkommene Kugel, aber doch als ein der Kugelform sich annäherndes Sphäroid; so bei der Gestalt der Weltkörper, der Regentropfen, zahlreicher einzelliger Organismen, überhaupt frei sich entwickelnder Zellen, der Eizellen, vieler Früchte und Samen u. s. w. Die Kugel ist gewisser= maßen Sinnbild des Weltalls, wie es ist und wie es uns erscheint. In geist= reicher Weise hat Fechner (Dr. Mises) die Gestalt der Kugel verherrlicht in seiner kleinen satyrischen Schrift: „Die Anatomie der Engel".

Ueber die Symmetrie der Körper und der gekrümmten Flächen habe ich mich bereits weiter oben ausgesprochen, und besonders auf den für die Organismenwelt so wichtigen Unterschied zwischen einfach symmetrischen und verwickelt symmetrischen oder polaren Formen aufmerksam gemacht. Es spielen ferner der symmetrische Mittelpunkt und die symmetrischen Achsen hier eine bedeutsame Rolle.

4. Gestalten der Naturreiche.

§ 1. Anorganismen.

Die Mineralien sind entweder symmetrisch gestaltet, nämlich krystallisiert oder krystallinisch, oder amorph, d. h. so unregelmäßig, daß zur Zeit eine mathematische Ableitung der Formen unmöglich erscheint. Die Krystalle haben keineswegs ihre äußeren Umrisse jederzeit streng nach symmetrischen Gesezen ausgebildet. Es

Fig. 15.

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Beispiele regulärer Kryftallformen.

kommt bei ihrer Betrachtung mehr auf die innere Struktur an, auf die Spalt= barkeit nach gewissen Richtungen, auf die Winkel, welche die Spaltflächen miteinander bilden. Die Krystallographie gründet sich auf die Längenverhältnisse, die Zahlen der Krystallachsen, sowie auf die Winkel, welche sie miteinander bilden. Man unterscheidet danach sechs Krystallsysteme.

Unter diesen sechs Systemen befindet sich eins, welches den regelmäßigen Vielflächnern entspricht. Man nennt es daher auch das regelmäßige (reguläre) System. Fig. 13 zeigt uns einige der Hauptformen dieses Systems. Das Charakteristisck derselben besteht in den drei zu einander senkrechten, gleichlangen Achsen. Aus der Abstumpfung der Ecken und Kanten sieht man das Verhältnis der Hauptformen zu einander und ihre Verbindung miteinander. Man sieht aus den Figuren, daß die kompliziertesten Formen die schönsten sind.

Das tetragonale, quadratische oder zwei- und einachsige System besizt

Fig. 16.

Beispiele für das tetragonale System.

ebenfalls drei aufeinander senkrechte Achsen, von denen zwei einander gleich sind, die dritte aber länger oder kürzer als jene.

Das heragonale oder drei- und einachsige System hat drei gleiche, in einer Ebene liegende, unter Winkeln von 60 Grad sich schneidende und eine vierte auf jenen senkrecht stehende, ihnen selten gleiche, meist ungleiche Achsen. Natürlich haben die Formen größere Mannigfaltigkeit als bei den beiden ersten Systemen.

Fig. 17.

Beispiele für das heragonale System.

Beim rhombischen System sind drei ungleiche, aufeinander senkrechte Achsen vorhanden. Dasselbe unterscheidet sich also vom regulären System nur durch die Ungleichheit der Achsen.

Beim klinorhombischen oder monoklinischen System stehen zwei in einer Ebene liegende Achsen schiefwinkelig zu einander, während die dritte auf ihrer Durchschnittsebene senkrecht steht.

Das verwickeltste System ist das klinorhomboidische oder triklinische, mit drei ungleichen, einander schiefwinkelig schneidenden Achsen.