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baben. Wurde bier z. B. nach dem Gegenstande selbst – ein Fenster gefragt, so wird im Rechnen nach dem Wieviel ? – ein Fenster – gefragt. Das praktische Rechnen kommt sogleich zur Anwendung. Haben die Sdüler früber mit der concreten Einbeit in ,,benannten" Zahlen gerechnet, so werden fie auf die Frage: „Welite Gegenstände kommen nur einmal in der Schul. stube vor?" sebr leidt das Richtige finden. Hieraus feben wir, daß dem kleinen Anfänger weder durch das Rechnen mit ,,benannten", nod ,,angewandten“ Zahlen, noch durch das Anhalten, in vollständigen Säßen zu sprechen, etwas hierher Nichtgehöriges geboten wird. Die verworrenen Ges danken der Kleinen werden bierdurch feineswege noce mebr verwirrt, wie die ,,Entgegnung" befürchtet. Im Gegentheil, sie werden auf eine dem Kinde nabeliegende Einbeit bingeführt und auf seine Selbstthätigkeit gelenkt, in welder es siit ein eigenes Urtheil bildet; denn sie ist eine von ihm verstandene und feine unbewußte Thätigkeit, welche es als seine Ibätigkeit im Begriffe festhalten kann, darum fie aud unmöglich auf seinen Geist verwirrend wirft.

Hiermit tritt deutlid bervor, daß der von der ,,Entgegnung" in diesem Punkte erhobene Einwand ebensowenig stichbaltig ist, als der andere. Bes mübt sich die „Entgegnung", alle Gefahren, welche das anschauliche Rechnen in sich schließt, im grellsten lichte binzustellen, um daraus nadzuweisen, wie dieses Rechnen einerseits obne praktischen Merth ist, und andererseits seine praktische Durchführung in unsern Schulen in das Reich der Unmöglidfeiten gebört, so gilt dies doch mebr meinen Ausführungen insonder beit als dem Princip des auf Anschauung gegründeten Rechnens im Allgemeinen, von dem Herr 5., indem er dessen Grundbedingung (,,Vermittelung des Sablen begriffe von Anfang an“) zu der seinigen macht und für sie allen Ernstes wünscht, daß sie von jedem Lebrer voll und ganz berüdsichtigt werde. Die Warnungstafel ist, wie gesagt, nur gegen meine Ausführungen aufgestellt. Da balte id es denn im Interesse unserer Soulen für erwünsdt, daß diejenigen Collegen, welche auf dem Gebiete des Anschauungsunterrichts bedeutende Erfabrungen gesammelt baben, ihre Erfabrungsschäße mittheilten. Vieleidt gelingt es einem andern besser, seine Anforderungen weniger boch zu stellen, als es mir gelungen ist. Der in diesem Punkte gemachte Einwand fiele dann von selbst weg, und der Weg für die Einführung des angeregten Unterrichtsverfahrens würde dann für unsere Schulen mehr geebnet.

Es mögen fich der praktischen Ausführung immerbin noc mande Schwierigkeiten in den Weg stellen und noch längere Zeit dazu gehören, ebe die meisten unserer Schulen dem in Rede stebenden Unterricht den rechten Werth beimessen, auch das, was er verlangt, eine möglichste Concentration", durchführen, dagegen nie in der ,,Entgegnung" vertretene ,Giolirung des Stoffe" verwerfen, das verbeble ich mir gar nicht. Dadurch lasse ich mich aber feineswegs abbalten, meine im Rechnen gemachten Erjabrungen bier zur Mittheilung zu bringen. Wenn andere Collegen, die das anspaulice Recnen in ibren Schulen anwenden, dasselbe thun, so bin ich überzeugt, der Eine oder der Andere zieht den Rod der alten Gewohnheit und des Hers gebrachten aus; und lernt er erst die Vortheile, welche dieses Rechnen gerade in der Förderung der Sprachfertigkeit bietet, fennen, dann wird er die in diesem Punkte von der ,,Entgegnung" ausgesprochenen Borurtheile ebensogut bekämpfen, wie es einige Collegen bereits in der lebten Nordwestlichen Lehrerconferenz getban baben. Auch wird er die Ansicht des Herrn H., der Lehrer thue auf der Unterstufe mögliderweise zu viel, oder seine Zeit erlaube es ihm nicht, wenn er diesen Anforderungen genügen soll, ebensowenig theilen, wie ich.

Der Kleinkinderlehrer fönne möglicherweise zu viel thun, oder seine Zeit zu sebr in Ansprud genommen werden, ist eine unberechtigte Befürchtung, welche bieber gewiß noc wenig Pädagogen ausgesprochen haben; ich wenigstens leje sie in der ,,Entgegnung" zum erstenmal. Was ich aber gelesen und oftmals gebört habe, ist das: der Lehrer respectirt die Bedürfnisse und Rechte der kleinen Kinder in vielen Fällen noch lange nicht genug. Ganz besonders gilt dies vom Rechnen.

Gerade, weil die Zeit des Lehrers, besonders in den gemischten Schulen, sebr knapp ist, macht man von vielen Seiten darauf aufmerksam, wie er seine Zeit richtig zum Besten aller Stufen eintbeilen fann. Das beste Mittel, Zeit zu gewinnen, ist: Der Pebrer beschäftige sich viel mit der Unterstufe. Also bier die persönliche unmittelbare Einwirkung des Lebrer 8 in vollem Umfange! So unrichtig diese Forderung manchem Lebrer im ersten Augenblid erscheinen mag, so richtig wird er fie finden, wenn er meinen weitern Ausführungen folgt. Ein Lebrer, der da meint, er habe nicht Zeit, ficte mit den Kleinen so zu beschäftigen, wie er es wohl möchte, trägt einen Theil der Schuld selbst. Er macht es sich zur ersten Aufgabe, den Kindern die Kenntniß einiger Zahlen zu vermitteln, dann mit ihnen erst die sogenann. ten Vorübungen durchzunehmen, auch das Schreiben der Ziffern zu lehren, ebe er das Reconen selbst in Angriff nimmt. In diesen mündlichen und schriftlichen Uebungen wird die Zeit so nußlos verwendet, daß man wohl mit Recht sagen tann: „Schade darum.“ Besonders gilt dies von der leßtern Uebung. Seben wir uns doch einmal die Zahlen 2, 3, 5 und 8 etwas näher an, wer wollte da bestreiten, daß die hier gebotenen Bogenstriche für die kleinen Anfänger, die ja so ungeschidt sind, daß ihre ersten Versuche ein fortgeseptes, fast aussdließliches Mißlingen sind, bedeutende Schwierigkeiten bieten und es längere Zeit nimmt, ebe sie einigermaßen befähigt werden, dieselben anwenden zu fönnen. Wie manche Thräne wird dabei vergossen, wie viel schöne Zeit gebt bei diesen Uebungen verloren, die bestimmt nüßlicher verwendet werden fönnte! Aus diesem Grunde ist es auch unmethodisch, den Rechenunterricht mit Ziffernschreiben zu beginnen, oder doch dieses mit dem Reconen zu verbinden und die Kinder zu einer Beschäftigung zu zwingen, welde doch mehr Nachtheile als Vortheile zur Folge hat. Ein daraus erwachsender Nachtheil ist: 3 u viel Abteilungen, deren eg in mancher Schule so viele gibt, daß man sich fragen muß, wo der Lebrer die Zeit bernimmt, fie alle erfolgreich zu beschäftigen. Weil er es nun nicht fann, sucht er für die oberen Stufen die Zeit dadurd zu gewinnen, daß er die Unterstufe für die mündliche Thätigkeit nur wenig berüdsichtigt. Das Redinen wird dadurch auf dieser Stufe unterschäßt, wodurch dann noch ein anderer Nachtheil erwächst, der größer ist alø der erste. Die größeren Schüler sind außer Stande, nach wenigen Andeutungen auf eine fruotbringende Weise ftill für fich fortzuarbeiten. Der Lehrer gebrauďt dann febr viel Zeit, bis er diesen Shülern die Anwendungsfälle zum richtigen Verständniß gebracht und die stille Beschäftigung ermöglicht hat. Die Rechenstunde ist aus, ehe er fich's versteht. Mit den Kindern ist er unju. frieden, mit sich selbst aber nicht. Er hat seine Pflicht, aud sein Bestee ge

Die Kinder tragen die Sculd, daß zu wenig gethan ift; fie find zu dumm, mit ihnen ist nichts Rechtes anzufangen. Solche Klagen, wer bätte fie nicht schon selbst ausgesprochen, oder aus dem Munde eines Collegen ges bört? Sind sie gerechtfertigt? Ich weiß es nicht, nur Eines weiß id und dao will ich wenigstens zur Entschuldigung der Kinder sagen: Sie sind im Rechnen nicht zu Hause. Wober kommt dies aber? Die auf der Unterstufe für das Rechnen angewandte Zeit ist nicht gut verwendet. Wer trägt die Schuld daran? Ich sagte, einen Theil der Lehrer selbst; denn er verfährt unmethodisch; eine gute Methode ist ihm Nebensache, sein alter Rod fißt ihm zu bequem. So hart auch diese Worte flingen mögen, so wenig böse find fle gemeint. Sie bezeichnen nur Uebelftände, welche gewiß in mans der Schule zu finden sind und oft sehr leicht auf dem Wege einer guten Mes thote, wenn auch keineswege gänzlich, so dodh theilweise, beseitigt werden können im Rechenunterricht einfach durch einen guten Anschauungsunterricht, in welchem die größtmögliche Ibeilung des Stoffe vermieden wird. Der Lehrer würde dann gewiß mehr Zeit für alle Stufen gewinnen, als er es jeßt abnt. Mit wenig Zerger und geringer Mühe bringt er diese Stufen zur stillen Beschäftigung, und die Zeit, einen guten Grund gelegt zu haben, trägt ihre besten Früchte.

Wer die Zeit gebörig auslaufen will, der balte fich fern von allen Regeln, auch von denen der Zinn'schen Methode. Herr H. empfiehlt dieselben, weil fte einerseits im Unterschiede von den frübern, beute verworfenen Methoden, welche die Regeln an die Spiße des Nechnens stellten, nach moderner Art aus den Beispielen erfannt werden, und andererseits, weil sie als mnemotechnisches Hilfømittel für die Praris von höchstem Werthe und darum unentbebrlid find. Gegen die Art der Einübung läßt sich allerdings nichts einwenden, und wenn die ,,Entgegnung“ meint, ich hätte in diesem Punkte Ausstellungen machen wollen, so will ich mich hiermit corrigiren, indem ich jedem febrer, der im „elementaren" Rechnen einmal ohne Regeln nicht fertig werden kann, diese Art der Einübung empfehle. Doch — müssen Regeln zur Anwendung kommen? Gibt es kein anderes, besseres Hilfsmittel als diese? Oder, worin besteht denn ihr hoher, von der ,,Entgegnung" so sehr betonter Werth in der Praris?

Wir haben es hier mit dem elementaren Rechnen zu thun, welches die Zahlen in ihre Elemente zerlegt, und dazu bedarf es feiner Regeln. Wem dieselben hier als mnemotechnisches Hilfsmittel unentbehrlich sind, der hat big jeßt noch fein besseres gefunden. Anstatt der Regeln stelle man concrete Dinge an die Spiße des Rechneno; sie sind das beste Mittel, den Unterricht recht faßlich zu machen, bei den Kindern die rechte Lust und Freudigkeit zu erweden, mit welcher sie sicher, schnell und freudig dem vom Lehrer b tretenen Weg folgen. Die Regeln sind im ,,elementaren" Reconen obne jeglichen Werth. Wenn sie selbst nicht unmittelbar" an die Spiße des Rechnens gestellt werden, so stehen sie doch als ,,Scheina" da, nach welchem alle dabin einschlagenden Uebungen vorgenommen werden müssen. Wenn man von dem Rinde auch nicht verlangt, daß es die Regeln in Worte fassen soll, so muthet man ihm doch zu, nach einem allgemeinen Plane zu operiren, von dem es nicht einfiebt, wie es vom Einzelnen zum Allgemeinen gelangt. Regeln ind deshalb ohne Werth und darum entbehrlich, weil sie eine strenge Aufeinanderfolge des Unterrichtsstoffee, ,,ein Haupterforderniß des elementarischen Red neno", nicht beobadyten. Ferner aud deshalb ohne Wertb, weil für den Sdüler ein selbständiges Folgern wegfallen muß, da alle Aufgaben nach einem Musterbeispiele gelöst werden. Auf diese Uebelstände ist schon lange von mehreren Seiten aufmerksam gemacht und man hat das vorerwähnte Rechnen auch von allen Regeln befreit. Die erste praktische Ausführung dieser Zdee gab E. Hentschel in seinen „Hundert Aufgaben". Wer diese praftische Anleitung studirt, der wird erfabren, daß selbst Aufgaben der einfachen und zusammengesepten Regeldetri, der niedern Wechselrechnung, der Discontos, Termin- und Rabattrechnung, sowie der Geselichafts- und Mischungsrechnung ohne Anwendung der Proportionen (Regeln) zu lösen find. E. Hentível, ein Methodifer ersten Ranges auf dem Gebiete des elementaren Rechnens, sagt selbst: „Nur von Regeln sei nicht die Rede! Das Kind werde sich der Beziehungen flar bewußt, in welchen Zeit, Raum, Kräfte, Wirkung. Menge, Gewicht 16. zu einander stehen, dann vermehre und vermindere der Lebrer die gegebenen Zahlen nach bestem Dafürhalten. Das ist Alles !" Selbst bei den algebraischen Aufgaben fommen in unsern Schulen feine Regeln und Formeln zur Anwendung; nur der gesunde Menschenverstand wird in Anspruch genommen. Gebt es in den erwähnten Rechnungsarten ohne Regeln, sind sie hier werthlos, warum nicht auch bei den Aufgaben auf der Unterstufe? Durch die Regeln wird den Kindern von Anfang an etwas sehr leicht Verlierbares geboten; was leicht verloren geht, ist von feinem bohen Werthe. Wessen Erfabrung bat biervon das Gegentheil gelebrt? - Dhne Werth sind die Regeln zum Sæluß noch darum, weil sie das Rechnen zu einem mechanischen machen. Es wird der Inbalt nach gewissen allgemeinen Formeln abgetheilt, die fir und fertig sind, und das Specielle der vorliegenden Aufgaben rüd. märts auf das allgemeine Schema bezogen. 3m elementarischen Rechenunterricht darf nicht die Dperation und die Regel das Einteilunge. princip abgeben, sondern das mathematische Dbject, die Zahl selbst.

C. R.

(Eingesandt von Cantor 3. S. Simon.) Die Fortbildung des Lehrers, wie nothwendig fie ist und wie

geschehen lann.

Wenn das mensdolide Leben nirgends, weder als Einzel. noc ale Gesammtleben, einen Stillstand verträgt, wenn zu dessen Gesundbeit Bes wegung und Streben unentbehrlich ist, so tritt dieses Bedürfniß wobl in feinem Berufe mit größerer Entschieden beit bervor, als in dem des Jugend.

Bei ihm gilt im besonderen Sinne, daß Stillstand Hüdgang ift. Soon daraus ergibt sich die Nothwendigkeit der Fortbildung für ihn. Nod flarer erkennen wir dieses, wenn wir uns das Wesen seines Berufe und seine besondern Lebens- und Bildungsverhältnisse vergegenwärtigen. Die Vorbildung eines Lehrers ist eine günstige zu nennen, wenn er in dem für die Elementarschule Nothwendigen ficher und geübt ist, dabei auc nachhaltige Anregung und Befähigung für vieles Andere empfangen hat, was zwar augenblicklich im Schulamte nicht verwendet werden kann, aber doch im Vers laufe der Zeit seiner Wirksamkeit die rechte Gediegen beit verleibt. Aber selbst unter solchen günstigen Umständen ist seine Bildung nicht abgeschlossen. Des sept, er ist des Stoffes des elementaren Schulunterrichts mächtig, so muß selbst dieses Wissen lüdenbaft und unsicher werden, sobald er nicht durch sorgfältige private Durcharbeitung es zu einem Besibe fürs ganze Leben fich aneignet. Es gilt dies insbesondere von dem Lebrer, der durch längere Be. schäftigung an einer Unterflaffe es immer nur mit den allerersten Anfängen des Wissens und Könnens zu thun bat. Der Lebrer bat durch seine Porbildung ein feineswegs abgeschlossenes Wissen empfangen; er empfing seine Bildung eben auf Hoffnung, mit der bestimmten Hinweisung auf Weitere bildung. Er fann und darf daber nie aufbören, Neues zu lernen, Neues zu durchdenken, mit Neuem sein Geistesleben rege zu erbalten und zu befruchten, auf welches seine Amtsthätigkeit ihn nicht unmittelbar führt. Der alte Be. fiß, welcher immer und immer wieder elementarisch durchgearbeitet worden ist, bat schließlich nicht mebr den Reiz und die Triebfraft, den Geist in bildende Bewegung und Tbätigkeit zu verseßen, die er früber batte und die dem Lebrer nie feblen dürfen. So nothwendig deßhalb dem Lebrer die Vorbildung ist, so kläglich und läderlich ist die Erscheinung eines Soulmeisters, der um seinen geistigen Horizont eine cineside Mauer zieht. In dem engen Kreise feiner Scule, unter seinen unmündigen Kindern das tägliche Dratel, tann

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