Leben ganz bekanntes, ohne dass eine eigentliche Definition auch nur versucht würde, denn die nun gleich folgende Erklärung des Maasses der Wahrscheinlichkeit durch Abzählung der günstigen und ungünstigen Fälle ist nur die mathematische Ausführung des letzten Satzes.

Die von Laplace an die Spitze gestellte Behauptung: „die Wahrscheinlichkeit hängt theils von dieser Unwissenheit theils von unseren Kenntnissen ab" muss ich aber geradezu für falsch erklären. In der That, wenn wir auch jenen allumfassenden Verstand besässen, könnten wir immer noch hypothetischen Urtheilen jene Eigenschaft zuschreiben, welche ich als die Wahrscheinlichkeit nachgewiesen habe, und ihr Maass angeben. Freilich würden. wir unter jener Voraussetzung nicht mehr von der Technik der Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Erforschung des Naturlaufes Gebrauch zu machen nöthig haben.

In etwas eingehendere Erörterungen lassen sich Bernoulli und Condorcet ein, aber auch ihnen ist es, soviel ich sehen kann, nicht gelungen, die Berechtigung dafür nachzuweisen, dass einer Aussage eine Eigenschaft beigelegt wird, die verschiedener in Zahlen angebbarer Grade fähig ist.

Für uns ist diese Schwierigkeit jetzt aus dem Wege geräumt, denn wir legen die fragliche Eigenschaft nicht einer kategorischen Aussage über ein bestimmtes Ereigniss bei, sondern einer hypothetischen Regel, welche ihre Ausnahmen hat. Da kann man denn recht wohl die der Regel folgenden und die Ausnahmen gezählt denken und das Verhältniss der beiden Anzahlen zum Maasse einer bestimmten Eigenschaft dieser Regel machen. Genau gesprochen handelt es sich aber bei der Wahrscheinlichkeit nicht um eine Zählung factisch beobachteter regelmässiger und Ausnahmefälle, sondern um die Zählung von ausnahmslosen Regeln, welche sich durch weitere Präcisirung des Vordersatzes bilden lassen müssen und von denen die einen mit positivem, die andern mit negativem Nachsatze schliessen. Das Verhältniss der einen Zahl zur Summe beider ist eben das Maass der Wahrscheinlichkeit der unvollständig ausgedrückten Regel.

In der ganzen Betrachtung, welche zu einer scharfen Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffes geführt hat, hatten wir nicht nöthig, uns des stets bedenklichen Wortes „Zufall" zu bedienen. Dass aber oft die Wahrscheinlichkeitslehre als die Lehre

vom Zufall und die Wahrscheinlichkeitsrechnung als die Berechnung des Zufalles bezeichnet wird, wollen wir zum Schlusse dieser Betrachtung noch kurz ausführen, was unter Zufall zu verstehen ist, wenn jene häufig gehörte Bezeichuung der Wahrscheinlichkeitslehre eine Bedeutung haben soll. Es versteht sich von selbst, dass einem wirklichen Ereigniss nie das Prädikat zufällig, das zu nothwendig in einem Gegensatze steht, mit Grund beigelegt werden kann. Ebenso wenig kann er auch dem Zusammentreffen gewisser Bedingungen beigelegt werden, welches ein Ereigniss herbeiführte, sofern dies Zusammentreffen auch schon als wirklich gesetzt wird, denn es ist ja alsdann auch ganz im nothwendigen Causalnexus des wirklichen Geschehens. mit Nothwendigkeit gegeben. Wohl aber kann man das Zusammentreffen gewisser Bedingungen in abstracto als zufällig bezeichnen, wenn eben die eine dieser Bedingungen mit der andern nicht an sich schon in einem gesetzlichen Zusammenhange steht. So ist beispielsweise das Befallensein von einer gewissen Krankheit nicht an sich nothwendig verknüpft mit einer schwächlichen Körperbeschaffenheit oder mit Mangel an guter Pflege. Man kann daher das Zusammentreffen dieser Bedindungen recht wohl in abstracto als ein zufälliges" bezeichnen. Gerade aber mit der Abzählung solcher Complexe von Bedingungen in abstracto, von denen die einen mit Nothwendigkeit ein gewisses Ereigniss herbeiführen, die andern es nicht herbeiführen, hat es die Wahrscheinlichkeitsrechnung zu thun, und in diesem Sinne kann man sie wohl eine Berechnung des Zufalles" nennen.

II. Bestimmung des Maasses der Wahrscheinlichkeit

a priori.

Um den Weg zu finden, auf welchem man für die wirklichen. Erfahrungsregeln die Grösse der Wahrscheinlichkeit ermitteln kann, muss man zunächst die Gesetze kennen, nach welchen die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Sätze von einander abhängen, die unter sich im logischen Zusammenhange stehen.

Dabei muss man von willkürlich gemachten Regeln ausgehen, für welche man den ganzen Bereich der allgemeinen Bedingung a priori übersehen und eintheilen kann. Von Alters her hat man zu diesem Zwecke die bei Spielen willkührlich hergestellten Bedingungen als Beispiele gebraucht, die sich in der That ganz vortrefflich dazu eignen. Stellen wir uns z. B. eine Münze vor, der Einfachheit wegen denken wir sie uns als eine Ebene ohne Dicke. Wir werfen nun die Münze auf einen Tisch und stellen uns den Moment vor, wo die mit einem Punkt der Kante den Tisch berührende Münze keine aufwärts gerichtete Geschwindigkeitscomponente mehr besitzt. Es sind jetzt unendlich viele Stellungen der Münze denkbar, die, soweit es uns angeht, bestimmt sind durch den Winkel, welchen die Schriftseite der Münze mit der Tischebene bildet. Dieser Winkel kann jeden denkbaren Werth zwischen 00 und 180o haben. Offenbar wird, wenn dieser Winkel spitz war, die schliesslich flach aufliegende Münze das Wappen oben zeigen, wenn er stumpf war, die Schrift. Ich kann demnach die Sphäre der allgemeinen Bedingung: „wenn eine Münze auf den Tisch geworfen wird, eintheilen in unendlich viele Einzelbedingungen, nämlich wenn die Münze auf den Tisch geworfen wird und ihre Schriftseite einen Winkel von 10 mit der Tischebene bildet", wenn die etc. und ihre Schriftseite einen Winkel von 20 bildet" u. s. w. mit allen stetigen Zwischenwerthen. Offenbar kann ich nun ebensoviele von vorn herein als unverbrüchlich zu erkennende Regeln bilden. „Wenn eine Münze aufgeworfen wird, und die Schriftseite bildet beim Aufschlagen einen Winkel von 1o mit der Tischebene, so wird sie schliesslich die Wappenseite zeigen". Wenn etc. und etc. Winkel von 20, so wird sie die Wappenseite zeigen" u. und etc. Winkel von 91o, so wird sie schliesslich die Schriftseite Fick, Wahrscheinlichkeiten.

"

s. f.

"

Wenn etc.

2

S. W. Es entspricht

und etc. Winkel von 92o, so wird sie zeigen". Wenn etc. schliesslich die Schriftseite zeigen" u. nun jedem der unendlich vielen spitzen Winkelwerthe ein stumpfer und es ist daher die unendliche Anzahl von Lagen der einen Art der unendlichen Anzahl von Lagen der andern Art genau gleich. Der hypothetische Satz, wenn ich eine Münze aufwerfe, so zeigt sich schliesslich die Schriftseite oben der so schlechthin gefasst als falsch zu bezeichnen wäre. hat somit eine ganz bestimmte Eigenschaft, nämlich diese: unter genau der Hälfte derjenigen Einzelbedingungen, welche in der allgemeinen Bedingung eingeschlossen liegen (oder ihren Bereich ausfüllen) tritt der im Nachsatz ausgedrückte Erfolg ein, unter genau der andern Hälfte dieser Einzelbedingungen tritt er nicht ein. Diese ganz bestimmte Eigenschaft ist es, welche man als Wahrscheinlichkeit 1/2 bezeichnet. Man pflegt wohl auch kurz zu sagen, es hat die Wahrscheinlichkeit 1/2, dass eine aufgeworfene Münze Schrift oben zeigt. Dass wir hier die Wahrscheinlichkeit genau numerisch angeben können, hat seinen Grund darin, dass wir eben die sämmtlichen Einzelbedingungen, welche den Bereich der allgemeinen Bedingung ausfüllen, vollständig von vorn herein übersehen, was bei dem Beobachten des natürlichen Geschehens. im Allgemeinen nicht der Fall ist.

Absichtlich habe ich ein Beispiel vorangestellt, bei welchem die Zahl der denkbaren Einzelbedingungen unendlich gross war. Unsere ferneren Betrachtungen will ich aber anknüpfen an das von jeher in den Untersuchungen über Wahrscheinlichkeitsrechnung vorzugsweise beliebte Beispiel des Herausziehens von weissen und schwarzen Kugeln aus einem verdeckten Gefässe, weil dies Beispiel am bequemsten gestattet, jeden beliebigen numerischen Werth der Wahrscheinlichkeit darzustellen. Es seien in einem Gefässe 30 Kugeln enthalten. Jede führe zur Unterscheidung von allen übrigen eine Nummer und es seien die Kugeln No. 1 bis No. 20 weiss, die Kugeln No. 21 bis No. 30 schwarz. Die allgemeine Bedingung: „Wenn aus dem Gefässe eine Kugel gezogen wird" umfasst hier offenbar 30 Einzelbedingungen, nämlich 1o, wenn No. 1 gezogen wird 2o, wenn Nr. 2 gezogen wird 3o, wenn No. 3 etc. etc. Da 20 von diesen 30 Bedingungen den Erfolg herbeiführen, dass eine weisse Kugel gezogen wird, so kann ich sagen: Die Regel wenn aus dem Gefässe eine Kugel gezogen wird, so kommt eine weisse Kugel zum Vorschein, hat die Wahr

scheinlichkeit 2/3. Allgemein, sind in dem Gefässe n weisse und m schwarze Kugeln, so ist die Wahrscheinlichkeit, eine weisse

Ziehe ich nun aus einem solchen Gefässe vielemale nacheinander eine Kugel heraus, indem ich sie jedesmal, nachdem ich sie angesehen und bemerkt habe, welche Farbe sie hat, wieder hineinlege, so lässt sich aus dem Verhältnisse der weissen zu den schwarzen Kugeln gar kein Schluss darüber ziehen, wie viele Male eine weisse und wie viele Male eine schwarze Kugel erscheinen wird. Diess versteht sich zwar ganz von selbst, aber es dürfte kaum überflüssig sein, ausdrücklich hierauf aufmerksam zu machen. Es sind nämlich hierüber im Volke und sogar bei sonst denkenden Menschen vielfach die sonderbarsten Vorurtheile tief eingewurzelt. Man ist nämlich geneigt zu glauben, dass aus einem Gefässe, welches viel mehr weisse als schwarze Kugeln enthält, bei einer grossen Anzahl von Zügen auch mehr weisse als schwarze Kugeln nothwendig hervorgehen müssten. Es ist diess allerdings, wie bekanntlich die Rechnung lehrt, höchst wahrscheinlich, aber nothwendig ist es durchaus nicht. Nehmen wir ein Gefäss mit 6 Kugeln, von denen No. 1, 2, 3, 4, 5 weiss sind, No. 6 allein schwarz. Die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel herauszuziehen, ist offenbar 16, das heisst aber nur, dass unter den Einzelbedingungen, die in dem allgemeinen „wenn ich eine Kugel ziehe begriffen sind, 5 den Erfolg haben, dass eine weisse Kugel zum Vorschein kommt und nur eine, die eine schwarze Kugel zum Vorschein bringt. Nun ist aber doch jeder einzelne Zug ein im nothwendigen Causalnexus stehendes Naturereigniss und der Erfolg hängt davon ab, welche von den Einzelbedingungen (No. 1, No. 2, ..... No. 6) dabei realisirt war. Offenbar könnte dieser Causalnexus so beschaffen sein, dass 20mal nacheinander die eine Bedingung realisirt wäre, welche die schwarze Kugel zum Vorschein bringt, nämlich dass 20mal nacheinander die No. 6 gezogen würde. Es ist gut, gleich hier zu bemerken, dass dieses Ereigniss nämlich, dass 20 mal nacheinander die schwarze No. 6 gezogen wird, auch nicht einmal weniger wahrscheinlich ist als das Ereigniss, dass bei 20 aufeinander folgenden Zügen die Kugeln in einer ganz bestimmten Reihenfolge erschienen, etwa so

5, 3, 6, 1, 4, 5, 2, 3, 1, 6, 2, 4, 3, 6, 1, 3, 5, 2, 1, 5.